拉普拉斯方程(球坐标系下的拉普拉斯方程)

请问直角坐标圆柱坐标和球坐标中拉普拉斯方程是怎样推出来的???P代表偏导P^2u/Px^2代表u对x的二阶导P^2u/Px^2+P^2u/py^2+P^2u/Pz^2=0,这是直角坐标系;P^2u/Pr^2+(2/r)(Pu/Pr)+(1/r^2)(P^2u/Pθ^2+cotθ(Pu/Pθ)+{1/[r^2(sinθ)^2]}(P^2/Pφ^2)=0,

请问直角坐标圆柱坐标和球坐标中拉普拉斯方程是怎样推出来的?

??P代表偏导

P^2u/Px^2代表u对x的二阶导

P^2u/Px^2+P^2u/py^2+P^2u/Pz^2=0,这是直角坐标系;

P^2u/Pr^2+(2/r)(Pu/Pr)+(1/r^2)(P^2u/Pθ^2+cotθ(Pu/Pθ)+{1/[r^2(sinθ)^2]}(P^2/Pφ^2)=0,这是球坐标系;

(1/ρ)P(ρPu/Pρ)/Pρ+(1/ρ^2)(P^2u/Pφ^2)+P^2/Pz^2=0,这是柱坐标系

直角坐标转换为柱坐标,球坐标的变换你应该会吧,然后把x,看做(θ,ρ,φ)函数,应用复合函数求导法则,先求一阶导Pu/Px=Pu/Pθ*Pθ/Px+Pu/Pρ*Pρ/Px+Pu/Pφ*Pφ/Px同理

Pu/Py,Pu/Pz做同样变换,Pθ/Px应用坐标变换方程可以得出,带入方程,一阶导变换完毕就变换外层二阶导,整理Pu/Pθ,Pu/Pρ,Pu/Pφ各项,就得到关于(θ,ρ,φ)的方程,这是球坐标方程,同理是柱坐标。

拉普拉斯方程数学符号?是什么意思,请举一个拉普拉斯方?

其中△为拉普拉斯算子,这里的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程.

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